kocw에서 연세대학교 민숙 교수님의 강의를 청강하게 되었다.
동국대 1학기때 미적분학을 배운다. 특히나 나는 컴퓨터와 관련된 지식뿐만 아니라 아트윅에 대한 지식을 얻기를 워하고 있다. 회로를 설계하면서 미적분은 기초 중에 기초 자다가도 일어나서 미적 해야하는것이 전자공학도이다. 아직 수업을 듣지는 않았지만 나는 그렇게 생각을 한다.
일주일중 2일은 강의를 청강하고 배운 내용을 정리해볼 생각이다.
필자는 나무위키와 위키백과를 100% 신용하지 않는다. 하지만 생각보다 자주 쓴다.?
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실수란 무엇인가?
실수는
수의 체계를 확인해보면 실수는 복소수 안에 있고 유리수와 무리수를 포함 시킨다는 것을 알수 있다.
실수 체계 {\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)}
공리계 를 통해 정의하거나, 구체적인 모형 을 구성하여 정의할 수 있다.
공리적 정의 [ 편집 ] 실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.
체 를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈이라고 불리는 두 이항 연산 을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.순서체 를 이룬다. 즉, 전순서 를 갖추며, 이는 덧셈 및 곱셈과 호환된다.완비적 이다. 즉, 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 상계 를 갖는다면, 항상 상한 을 갖는다.
마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 동형 의미 하에 유일하다.
구성적 정의 [ 편집 ] 실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 모형 을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.
라고 위키 백과에 나와 있다.
더 깊게 들어가 보자
사칙연산에는 + - x %
가 있다 이때 +의 역원은 -이고 x의 역원은 %이다.
교환법칙과
결합법칙이 존재한다.
그리고 항등원을 가지는데
이때 항등원이란
임의의 수 a에 대하여 어떤 수를 연산 했을 때 처음의 수 a가 되도록 만들어 주는 수를 말한다.
위에 설명한 3가지 구성적 성의를 풀어서 강의를 하시는데 역시... 연세대 강의이다. 어렵다..
실수의 기원에 대해서 설명을 하시는데
실수는 방정식을 완성시키기 위해서 만들어진 집합이라는 이야기이다.
우선 고등학생이 이해해야하는 항목은 -는 교환법칙과 결합법칙이 성립되지 않는데
고로 -는 음수를 나타내는 일종의 기호였던 것이다.
또한 % 유리수의 구성이라고 생각할수 있는데
예를 들어서 2xy=4
에서 문자로 치환을 해보면
aXy=b
y=a/b
이기 때문이다.
결국 x기의 역원이며 동시에 유리수이다.
이걸 이해 했다면 다음도 어렵다.
그래서 처음에는 더하기와 곱하기 연산밖에 없지만
이것이 확장을 하게 되면서
정수가 생겨나고(정수의 집합 안에 음수가 있다.)
항등원과 역원이 유리수를 만들졌다는 말이다.
이말고도 위키백과에서 모르는 내용을 찾아보니 너무 많이 나와 버렸다. 다 말하면 수학자가 되버렷.......
데데킨트의 절단과 완비를 설명하시는데 데데킨트에 대한 설명은 없기때문에 찾아보자!!
우선은 실수가 수직선 상에 나타낼수 있다는 것을 우리는 알았다.
이때 수직선 상에서 수직선을 분리 하게 되면 절단면이 생긱게 되는데 이때의 점을 실수라 칭할수 있다.
그리고 절단으로 수직선이 두부분으로 나뉘우는데
이것을
상한 공리 는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
(상한 공리) 공집합 이 아닌, 상계 를 갖는 실수 부분 집합은 항상 상한 을 갖는다.
(하한 공리) 공집합 이 아닌, 하계 를 갖는 실수 부분 집합은 항상 하한 을 갖는다.
공집합 이 아닌 유계 실수 부분 집합은 항상 상한과 하한 을 갖는다.
로 설명을 하시는데
두 집합 즉 두 수직선에서 최댓값과 최솟값에대해서 설명을 하신다.
결과적으로는 사칙연산을 이용해서 유리수의 체계를 설명하셨고
무리수는 다른말로는 유리수가 아닌 실수 이다.
무리수는 유클리드 원론 13권에 나오는 유구한 증명을 통해서 나타낼수 있고
페르마의 마지막 정리를 통해서 나타낼수도 있는데
러프하게 설명하면 무리수 즉 루트 2를 정수라고 치환하여 식을 정리하면 페르마의 마지막 정리에 의해서 해가 존재하지 않은 거짓이다. 어렵겠지만 앞서말한 나누기가 유리수 임을 잘 생각해보면 답을 도출할 수 있다.
사실 이부분을 피타고라스와 함계 설명을 하셨는데 그것보다 나는 이게 더 알아듣기 편했다.
마지막으로 정리를 해보자면!
실수는 여러 정의과 법칙이 성립한다.
정수와 유리수는 역원을 통해서 비교가 가능하다.
무리수와 유리수는 유클리드와 페르마의 마지막 정리를 통해서 쉽게 증명이 가능하다.
실수와 유리수의 차이는 무리수를 통해서 설명이 가능하다.
